发散式教学初探

李德博

    高中数学是普通高级中学的一门主要课程，它是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生产、日常生活和进一步学习的基础，对形成良好的思想品质和辨证唯物注意世界观有积极作用。如何搞好数学的课堂教学、探索数学的教改方法是摆在全体数学老师面前的重要课题。

   心理学家按思维的展开方式，把思维过程分为收敛式（集中式）和发散式（扩散式）两种。收敛式思维就是利用全部已知信息作出一个正确的输出。而发散式思维正好相反，它是从一点出发，运用全部信息进行放射性联想，从而产生各种各样为数众多的输出。在教学中，普遍存在比较重视收敛思维的训练，而相对忽视了发散能力的培养。收敛思维固然重要，因为它可以培养学生严格的逻辑思维能力，使学生的思维具有规范化。但发散思维也是十分重要的，因为发散思维在创造性思维中占主导地位，而创造性思维又是创造能力的核心部分，因此，重视发散思维能力的培养，对培养“开拓型”，“创造性“人才，具有深刻的意义。

     本文就数学教学中，谈谈创设思维情境，进行发散式教学的初步尝试。

     一、     强化学生“三基“训练，培养发散思维的流畅性

       流畅性即迅速产生大量观念的能力，具体讲是指心智活动畅通无阻，灵敏迅速，联想面广，能在较短时间内汇集与所研究问题相关的概念、性质、公式、定理、方法与技巧等，成为信手拈来之物，从而能很快找到恰当的解决的途径。这相关内容当然不是凭空产生的，必须要有扎实的功底。因而在数学教学中，必须强化基础知识、基本技能和基本方法的训练，使学生对所学知识能迅速地引起联想，建立联系，并善于自我调节，在具体运用时，就可以达到熟能生巧的境界。流畅是发散的坚实基础，它体现了发散思维的数量指标，因而它是发散思维的初级表象。例如在复习立体几何的“直线与平面”部分时，提出问题：剖析正方体。学生迅速联想到棱、面、面对角线、体对角线、对角面、过顶点的三角形截面等，进而联想到线与线、线与面、面与面之间的位置关系、距离、所成的角。学生思维必须多方位、多层次的扩散，建立尽可能多的联系，从而促进思维的流畅性。在此基础上，再给学生出一个问题：将“平行与垂直”的有关定理、“距离与角”的计算方法，从剖析正方体线线、线面、面面关系中体现出来。这就要求学生能迅速地将直线与平面有关的基本知识反映出来，基本方法总结出来。并结合对正方体的观察、思考、转化，使学生的思维向更多更新的方向发展。这样既达到了巩固概念和基本技能的目的，又训练了基本方法，从而培养了学生思维的流畅性。

   二、     启发学生“变式”思考，培养发散思维的变通性

   变通性是指改变思维防线，克服定势影响的能力。具体讲是指思维活动不局限于某一框架，能够随机应变，触类旁通，巧妙地应用所学知识，把未知转化为已知，使问题得以解决。在数学教学中要启发学生一题多解、一题多变，使学生的思维活动不局限于某一个模式，而能多角度、多层次地去思考分析问题，从中找出规律性或最优化的方法，并达到举一反三，融会贯通。

   思维的变通性是发散思维的关键，不仅体现了发散的量，更重要的是体现了发散的方向，体现了发散的实质。可见变通不仅仅是流畅的延伸，更是独特的前奏。

    三、鼓励学生“异想天开”，培养发散思维的独立性

    独特性即提出新颖奇特，不同一般的见解、创造性的见解，创造性地解决问题的能力。独特性是创造性思维的生命，显示了发散思维的本质特征，体现了发散思维的质量，含有新异成分，是流畅和变通的结果。

   在数学教学中，应该鼓励学生“别出心裁——标新立异”，不因循守旧，敢于突破有关知识的局限，敢于提出“意料之外的问题；鼓励学生进行一些力所能及的猜想、拓广、引申，点燃思维的火花，培养学生思维的独特性。

例：设an>0,an2<an-an+1,

    求证：an<1/n

该题有多种数学归纳法的证法。在一次复习课上，我在未作任何提示的情况下，要求学生做出此题。结果，多数学生采用的是数学归纳法，而部分学生通过联想“累差法”，没有用数学归纳法而简捷地完成了证明。我请其中一个同学，将“别致”的证法写在了黑板上，以启示大家。

证：因为0<an2<an-an+1=> an-an+1,

    并且，0<an+1<an(1-an)=>0<an<1

    所以0<an an+1<an2<an-an+1,

    即an-an+1> anan+1,

    两边同除以anan+1，得1/ an+1-1/ an>1，

    从而有1/ an-1/ an>1，

    1/ an-1-1/ an-2>1，

    ………………

    1/ a2-1/ a1。>1

    以上n-1个不等式左右累加得，

    1/ an-1/ a1。>n-1

    即1/ an>n+(1/ a1-1) >n   an>1/n.

   接着，又有学生提出an>0是多余的条件，事实当an<0时an<1/n.显然成立。

   上述证法简捷而又实用。由于平时注意运用发散式教学，故增强了学生的发散意识，大部分学生已初步形成了发散思维的习惯。

   进行发散式教学，不但培养了学生的发散思维，而且也促进了教师的思维发散，更重要的是改变了课堂上学生被动应付、思维抑制的状态，培养了学生主动思考问题的习惯和创造精神。当然，加强发散思维能培养你的能力，不等于就可以放松收敛思维的训练，因为收敛思维是发散思维的基础，只有具备了大量的知识，才能从事物的不同方面，不同的联系上考虑问题，收敛思维与发散思维是相辅相成的。另外，在进行发散式教学的过程中，仍有许多问题，如何选择发散点，怎样发散等问题值得我们继续探索与思考。